$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$の比に内分する点を$L$, 辺$OA$の中点を$M$とし、線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$の比に内分する点を$L$, 辺$OA$の中点を$M$とし、線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$を求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とする。

点$L$は辺$AB$を$2:3$に内分するので、

$$\overrightarrow{OL} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$$

点$P$は線分$OL$上にあるので、$s$を実数として、

$$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OL} = s(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$$

点$P$は線分$BM$上にあるので、$t$を実数として、

$$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OM} + (1-t)\overrightarrow{OB} = t(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}) + (1-t)\overrightarrow{OB} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$$

$$\frac{2s}{5} = 1-t$$

上記の式から、$s$と$t$を求める。

$t = \frac{6s}{5}$を$\frac{2s}{5} = 1-t$に代入すると、

$$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$$

$$2s = 5 - 6s$$

$$8s = 5$$

$$s = \frac{5}{8}$$

$t = \frac{6s}{5} = \frac{6}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

よって、$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OM} + (1-\frac{3}{4})\overrightarrow{OB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OM} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$

従って、$BP:PM = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$