座標平面上の点A(1,1)について、以下の問題を解く。 (1) 直線 $y=2x$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求める。 (2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求める。 (3) 点Pは直線 $y=2x$ 上に、点Qは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にある。3点A, P, Qが同一直線上にないとき、三角形APQの周の長さを最小にする点P, Qの座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の点A(1,1)について、以下の問題を解く。

(1) 直線 $y=2x$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求める。

(2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求める。

(3) 点Pは直線 $y=2x$ 上に、点Qは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にある。3点A, P, Qが同一直線上にないとき、三角形APQの周の長さを最小にする点P, Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(1,1)と直線 $y=2x$ に関して対称な点B(a,b)を求める。

* 線分ABの中点Mは直線 $y=2x$ 上にある。Mの座標は $(\frac{1+a}{2}, \frac{1+b}{2})$なので、

$\frac{1+b}{2} = 2(\frac{1+a}{2})$

$1+b = 2+2a$

$b = 2a+1$ ...(1)

* 直線ABは直線 $y=2x$ と垂直である。直線ABの傾きは$\frac{b-1}{a-1}$であり、$y=2x$の傾きは2であるから、

$\frac{b-1}{a-1} \cdot 2 = -1$

$2(b-1) = -a+1$

$2b-2 = -a+1$

$2b = -a+3$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$2(2a+1) = -a+3$

$4a+2 = -a+3$

$5a = 1$

$a = \frac{1}{5}$

(1)に代入すると、

$b = 2(\frac{1}{5})+1 = \frac{2}{5}+1 = \frac{7}{5}$

したがって、点Bの座標は $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

(2) 点A(1,1)と直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して対称な点C(c,d)を求める。

* 線分ACの中点Nは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にある。Nの座標は $(\frac{1+c}{2}, \frac{1+d}{2})$なので、

$\frac{1+d}{2} = \frac{1}{2}(\frac{1+c}{2})$

$2+2d = 1+c$

$2d = c-1$

$d = \frac{c-1}{2}$ ...(3)

* 直線ACは直線 $y=\frac{1}{2}x$ と垂直である。直線ACの傾きは$\frac{d-1}{c-1}$であり、$y=\frac{1}{2}x$の傾きは$\frac{1}{2}$であるから、

$\frac{d-1}{c-1} \cdot \frac{1}{2} = -1$

$d-1 = -2(c-1)$

$d-1 = -2c+2$

$d = -2c+3$ ...(4)

(3)を(4)に代入すると、

$\frac{c-1}{2} = -2c+3$

$c-1 = -4c+6$

$5c = 7$

$c = \frac{7}{5}$

(3)に代入すると、

$d = \frac{\frac{7}{5}-1}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

したがって、点Cの座標は $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

(3) AP + PQ + QAの長さが最小となるのは、AP + PQ + QA = BP + PQ + QC が最小となるときである。これは、B, P, Q, Cが一直線上にあるときである。直線BCの方程式を求める。B$(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$、C$(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

直線BCの傾きは $\frac{\frac{1}{5} - \frac{7}{5}}{\frac{7}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{-6/5}{6/5} = -1$

直線BCの方程式は、$y - \frac{7}{5} = -1 (x - \frac{1}{5})$

$y = -x + \frac{1}{5} + \frac{7}{5}$

$y = -x + \frac{8}{5}$

点Pは$y = 2x$上にあるので、$2x = -x + \frac{8}{5}$

$3x = \frac{8}{5}$

$x = \frac{8}{15}$

$y = 2(\frac{8}{15}) = \frac{16}{15}$

したがって、P$(\frac{8}{15}, \frac{16}{15})$

点Qは$y = \frac{1}{2}x$上にあるので、$\frac{1}{2}x = -x + \frac{8}{5}$

$\frac{3}{2}x = \frac{8}{5}$

$x = \frac{16}{15}$

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$

したがって、Q$(\frac{16}{15}, \frac{8}{15})$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

(2) 点Cの座標は $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

(3) 点Pの座標は $(\frac{8}{15}, \frac{16}{15})$、点Qの座標は $(\frac{16}{15}, \frac{8}{15})$