ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (3)(-2) \\ (3)(0) - (2)(1) \\ (2)(-2) - (-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 6 \\ 0 - 2 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

得られたベクトル $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直です。

次に、このベクトルの大きさを計算します。

$\left\| \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

問題文で与えられたベクトルの大きさは $3\sqrt{5}$ なので、$\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ は条件を満たすベクトルの1つです。

もう一つの解は、$\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ の逆向きのベクトル、すなわち $-\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ である。