三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 4$, $\angle A = 120^\circ$である。$\angle A$の二等分線と$BC$との交点を$D$とするとき、$AD$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 4$, $\angle A = 120^\circ$である。$\angle A$の二等分線と$BC$との交点を$D$とするとき、$AD$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAD = \angle CAD = 60^\circ$である。三角形ABCの面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

また、$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} AD$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} AD$

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$なので、

$3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4} AD + \sqrt{3} AD$

$3 = \frac{3}{4}AD + AD$

$3 = \frac{7}{4}AD$

$AD = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{12}{7}$