$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であることから、内積が0になるという条件を使います。

つまり、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$ が成り立ちます。

内積の性質を利用して式を展開します。

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 5\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ であることを用いると、

$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

問題文より $|\vec{a}| = 2$ と $|\vec{b}| = 1$ を代入します。

$2(2)^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5(1)^2 = 0$

$8 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5 = 0$

$3 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を用います。

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 1$

$2 \cdot 1 \cdot \cos\theta = 1$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^{\circ}$) となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$