与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 2点A(2, 1), B(-1, 2) から等距離にある点Pの軌跡を求めます。 (2) 2点A(0, 0), B(6, 0) からの距離の比が 1:2 である点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 2点A(2, 1), B(-1, 2) から等距離にある点Pの軌跡を求めます。

(2) 2点A(0, 0), B(6, 0) からの距離の比が 1:2 である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とします。

点Pが点A, Bから等距離にあるという条件は、PA = PB と表せます。

距離の公式より、$PA = \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}$、$PB = \sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2}$ です。

PA = PB より、$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2}$ です。

両辺を2乗して、$(x-2)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2$ を得ます。

展開して整理すると、$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$ となります。

これをさらに整理すると、$-4x - 2y + 5 = 2x - 4y + 5$ となり、$6x - 2y = 0$、すなわち $3x - y = 0$ を得ます。

したがって、y = 3x となります。

(2) 点Pの座標を(x, y)とします。

点PからA, Bまでの距離の比が1:2であるという条件は、PA : PB = 1 : 2と表せます。

つまり、2PA = PB です。

距離の公式より、$PA = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$、$PB = \sqrt{(x-6)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$ です。

2PA = PB より、$2\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$ です。

両辺を2乗して、$4(x^2 + y^2) = (x-6)^2 + y^2$ を得ます。

展開して整理すると、$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$ となります。

これをさらに整理すると、$3x^2 + 12x + 3y^2 = 36$ となり、両辺を3で割ると、$x^2 + 4x + y^2 = 12$ を得ます。

平方完成を行うと、$(x+2)^2 - 4 + y^2 = 12$ となり、$(x+2)^2 + y^2 = 16 = 4^2$ を得ます。

これは中心が(-2, 0)、半径が4の円の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) y = 3x

(2) $(x+2)^2 + y^2 = 16$ (中心(-2, 0), 半径4の円)