2つの円 $x^2 + y^2 = 25$ と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 25$ と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 25 + k((x-1)^2 + (y-2)^2 - 20) = 0$

と表せる。この円が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0^2 + 0^2 - 25 + k((0-1)^2 + (0-2)^2 - 20) = 0$

$-25 + k(1 + 4 - 20) = 0$

$-25 + k(-15) = 0$

$-15k = 25$

$k = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3}$

これを円の方程式に代入すると、

$x^2 + y^2 - 25 - \frac{5}{3}((x-1)^2 + (y-2)^2 - 20) = 0$

$3(x^2 + y^2 - 25) - 5((x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 20) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 75 - 5(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 20) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 75 - 5x^2 + 10x - 5 - 5y^2 + 20y - 20 + 100 = 0$

$-2x^2 - 2y^2 + 10x + 20y = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 10x - 20y = 0$

$x^2 + y^2 - 5x - 10y = 0$

$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + (y - 5)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5^2$

$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + (y - 5)^2 = \frac{25}{4} + 25 = \frac{25 + 100}{4} = \frac{125}{4}$

よって、円の中心の座標は $\left(\frac{5}{2}, 5\right)$ であり、半径は $\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{125}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

中心の座標：$\left(\frac{5}{2}, 5\right)$

半径：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$