放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 原点に関して対称移動：

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動すると、点 $(x, y)$ は $(-x, -y)$ に移るので、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = (-x)^2 - 2(-x) + 2$

$-y = x^2 + 2x + 2$

$y = -x^2 - 2x - 2$

(2) 平行移動：

$x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動します。これは、$x$ を $x - 1$ に、$y$ を $y + 2$ に置き換えることで実現できます。

$y + 2 = -(x - 1)^2 - 2(x - 1) - 2$

$y + 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2x + 2 - 2$

$y + 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2x$

$y + 2 = -x^2 - 1$

$y = -x^2 - 3$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 - 3$