三角形 ABC において、$AC + CD = AB$, $\angle ADC = 70^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$ であるとき、$\angle B$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AC + CD = AB$, $\angle ADC = 70^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$ であるとき、$\angle B$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle DAC$ を求めます。三角形 ADC において、$\angle ADC = 70^\circ$, $\angle ACD = 80^\circ$ なので、

$\angle DAC = 180^\circ - (70^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

次に、点 C を通り、線分 AB に平行な線を引き、線分 AD の延長との交点を E とします。

すると、$\angle AEC = \angle BAD$ (同位角) となります。

$\angle ACE = \angle CAB$ （錯角）となります。

ここで、$\triangle ACE$ が二等辺三角形となるように点 E を取ります。つまり、$AC = AE$ となるようにします。

問題文の条件より、$AB = AC + CD$ であり、$AE = AC$ であるから、$AB = AE + CD$ が成り立ちます。

すると、$EB = CD$ となります。

次に、$\angle ADE = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ となります。

$\angle ACE = \angle CAB$ とすると、$\triangle ACE$ は二等辺三角形であるため、$\angle AEC = \angle CAE = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$ となります。

よって、$\angle CAB = 50^\circ$ です。

したがって、$\angle BAD = \angle AEC = 50^\circ$ であるから、$\angle CAD = \angle CAB - \angle DAB = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$ ということになります。

$\angle BAC = 50^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$ なので、$\angle ABC = 180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

三角形ABCの内角の和は180度なので、

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle B = 50^\circ$