2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルを $\vec{c} = (x, y, z)$ とする。$\vec{c}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積に平行であるから、まず外積を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = ((-1)(1) - (3)(-2), (3)(0) - (2)(1), (2)(-2) - (-1)(0)) = (-1 + 6, 0 - 2, -4 - 0) = (5, -2, -4)$.

したがって、$\vec{c} = k(5, -2, -4)$ (kは実数) と書ける。

(2) $\vec{c}$ の大きさが $3\sqrt{5}$ であることから、$|\vec{c}| = 3\sqrt{5}$ を満たすkを求める。

$|\vec{c}|^2 = (5k)^2 + (-2k)^2 + (-4k)^2 = 25k^2 + 4k^2 + 16k^2 = 45k^2$.

$|\vec{c}| = \sqrt{45k^2} = |k|\sqrt{45} = |k|3\sqrt{5}$.

したがって、$|k|3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ より、$|k| = 1$, つまり $k = \pm 1$.

(3) $k=1$ のとき、$\vec{c} = (5, -2, -4)$.

$k=-1$ のとき、$\vec{c} = (-5, 2, 4)$.

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $(5, -2, -4)$ と $(-5, 2, 4)$ である。