2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求めます。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで得られます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (3)(-2) \\ (3)(0) - (2)(1) \\ (2)(-2) - (-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 6 \\ 0 - 2 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

得られたベクトル $\vec{c} = (5, -2, -4)$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直です。次に、$\vec{c}$ の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$\vec{c}$ の大きさは $3\sqrt{5}$ であり、これは求めるベクトルの大きさと同じです。

したがって、$\vec{c}$ は求めるベクトルの一つです。また、$-\vec{c}$ も $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直で、大きさは $3\sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

求めるベクトルは、$(5, -2, -4)$ と $(-5, 2, 4)$ です。