ベクトル $\vec{x} = (1, 0, 0)$ とベクトル $\vec{y} = (1, \frac{1}{2}, 1)$ が与えられたとき、これらのベクトルに直交する大きさ1のベクトルを外積を用いて求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = (1, 0, 0)$ とベクトル $\vec{y} = (1, \frac{1}{2}, 1)$ が与えられたとき、これらのベクトルに直交する大きさ1のベクトルを外積を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の外積 $\vec{z}$ を計算します。外積は次の式で計算できます。

$\vec{z} = \vec{x} \times \vec{y} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix}$

外積を計算すると、

$\vec{z} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2})\vec{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 1)\vec{k} = 0\vec{i} - 1\vec{j} + \frac{1}{2}\vec{k} = (0, -1, \frac{1}{2})$

次に、$\vec{z}$ の大きさを計算します。

$|\vec{z}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

最後に、大きさ1のベクトル $\vec{u}$ を求めるために、$\vec{z}$ をその大きさで割ります。

$\vec{u} = \frac{\vec{z}}{|\vec{z}|} = \frac{(0, -1, \frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = (0, \frac{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}) = (0, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

$\vec{u} = (0, -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$

また、$\vec{x} \times \vec{y}$と$\vec{y} \times \vec{x}$は逆向きなので、もう一つの答えは

$-(0, -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) = (0, \frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$

3. 最終的な答え

$\vec{x}$ と $\vec{y}$ に直交する大きさ1のベクトルは、

$(0, -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ または $(0, \frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$