座標平面上に点 O(0, 0), A(1, 1) がある。直線 $l: y = -ax + 2a + 2$ が与えられている。ただし、$a$ は正の実数である。 (1) 直線 $l$ に関して点 A と対称な点 A' の座標を求める。 (2) 点 P が直線 $l$ 上を動くとき、OP + PA の最小値を $a$ を用いて表す。 (3) (2) で求めた OP + PA の最小値を $f(a)$ とするとき、$f(a)$ を最大にするような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 O(0, 0), A(1, 1) がある。直線 $l: y = -ax + 2a + 2$ が与えられている。ただし、$a$ は正の実数である。

(1) 直線 $l$ に関して点 A と対称な点 A' の座標を求める。

(2) 点 P が直線 $l$ 上を動くとき、OP + PA の最小値を $a$ を用いて表す。

(3) (2) で求めた OP + PA の最小値を $f(a)$ とするとき、$f(a)$ を最大にするような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 A'(s, t) とする。

線分 AA' の中点 M は直線 $l$ 上にある。

M の座標は $(\frac{1+s}{2}, \frac{1+t}{2})$ である。

M が $l$ 上にあるので、

$\frac{1+t}{2} = -a(\frac{1+s}{2}) + 2a + 2$

$1+t = -a(1+s) + 4a + 4$

$t = -a - as + 4a + 3$

$t = -as + 3a + 3$ ...(1)

AA' は $l$ に垂直である。

$l$ の傾きは $-a$ である。

AA' の傾きは $\frac{t-1}{s-1}$ である。

$-a \cdot \frac{t-1}{s-1} = -1$

$t-1 = \frac{1}{a}(s-1)$

$t = \frac{1}{a}s - \frac{1}{a} + 1$ ...(2)

(1)と(2)より、

$-as + 3a + 3 = \frac{1}{a}s - \frac{1}{a} + 1$

$3a + 3 + \frac{1}{a} - 1 = \frac{1}{a}s + as$

$3a + 2 + \frac{1}{a} = (\frac{1}{a} + a)s$

$s = \frac{3a + 2 + \frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + a} = \frac{3a^2 + 2a + 1}{1 + a^2}$

$t = \frac{1}{a} \cdot \frac{3a^2 + 2a + 1}{1+a^2} - \frac{1}{a} + 1 = \frac{3a^2 + 2a + 1 - (1+a^2) + a(1+a^2)}{a(1+a^2)}$

$= \frac{3a^2 + 2a + 1 - 1 - a^2 + a + a^3}{a(1+a^2)} = \frac{a^3 + 2a^2 + 3a}{a(1+a^2)} = \frac{a^2 + 2a + 3}{1+a^2}$

したがって、A' の座標は $(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}, \frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1})$

(2)

OP + PA の最小値は OP + PA' であり、それは OA' である。

$OA' = \sqrt{(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1})^2 + (\frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1})^2}$

$= \sqrt{\frac{(3a^2 + 2a + 1)^2 + (a^2 + 2a + 3)^2}{(a^2 + 1)^2}}$

$= \sqrt{\frac{9a^4 + 4a^2 + 1 + 12a^3 + 6a^2 + 4a + a^4 + 4a^2 + 9 + 4a^3 + 6a^2 + 12a}{(a^2 + 1)^2}}$

$= \sqrt{\frac{10a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 16a + 10}{(a^2 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{10(a^4 + \frac{8}{5}a^3 + 2a^2 + \frac{8}{5}a + 1)}{(a^2+1)^2}} = f(a)$

(3)

$f(a)^2 = \frac{10a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 16a + 10}{(a^2 + 1)^2} = \frac{10(a^2 + 1)^2 + 16a(a^2 + 1)}{(a^2+1)^2}$

$f(a)^2 = \frac{10(a^4 + 2a^2 + 1) + 16(a^3 + a)}{(a^4 + 2a^2 + 1)} = 10 + \frac{16(a^3+a)}{a^4+2a^2+1}$

$f(a)^2 = 10 + \frac{16a(a^2+1)}{(a^2+1)^2} = 10 + \frac{16a}{a^2+1}$

$g(a) = \frac{a}{a^2 + 1}$ を最大にする a を探す。

$g'(a) = \frac{(a^2+1) - a(2a)}{(a^2+1)^2} = \frac{1 - a^2}{(a^2+1)^2}$

$g'(a) = 0$ のとき $1 - a^2 = 0$, $a = \pm 1$. $a > 0$ より $a=1$.

$a=1$ のとき $g(1) = \frac{1}{2}$。

したがって、$f(a)$ は $a = 1$ のとき最大になる。

3. 最終的な答え

(1) A' の座標は $(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}, \frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1})$

(2) OP + PA の最小値は $\sqrt{\frac{10a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 16a + 10}{(a^2 + 1)^2}}$

(3) $a = 1$