半径1の円に内接する正五角形ABCDEの一辺の長さを$a$とし、$\alpha = \frac{2}{5}\pi$とする。 (1) $\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = 0$が成り立つことを証明する。 (2) $\cos \alpha$の値を求める。 (3) $a$の値を求める。 (4) 線分ACの長さを求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する正五角形ABCDEの一辺の長さを$a$とし、$\alpha = \frac{2}{5}\pi$とする。

(1) $\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = 0$が成り立つことを証明する。

(2) $\cos \alpha$の値を求める。

(3) $a$の値を求める。

(4) 線分ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = \frac{2}{5}\pi$ より $5\alpha = 2\pi$。よって $3\alpha = 2\pi - 2\alpha$。

$\sin 3\alpha = \sin(2\pi - 2\alpha) = - \sin 2\alpha$

$\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = -\sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 0$

したがって、$\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = 0$が成り立つ。

(2)

$\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = 0$

$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0$

$\sin\alpha (3 - 4\sin^2\alpha + 2\cos\alpha) = 0$

$\sin\alpha \neq 0$ ($\alpha = \frac{2}{5}\pi$より) なので、

$3 - 4(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = 0$

$3 - 4 + 4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha = 0$

$4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$

$\cos\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$\alpha = \frac{2}{5}\pi$ は第二象限の角なので、$\cos\alpha < 0$。

したがって、$\cos\alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

(3)

正五角形ABCDEにおいて、中心Oと頂点A, Bを結ぶと、$\angle AOB = \frac{2\pi}{5} = \alpha$。

三角形OABにおいて、OA = OB = 1 (円の半径)、AB = a。

余弦定理より、

$a^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos\alpha$

$a^2 = 2 - 2\cos\alpha = 2 - 2(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}) = 2 + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{4 + 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

$a = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

(4)

正五角形ABCDEにおいて、中心Oと頂点A, Cを結ぶと、$\angle AOC = \frac{4\pi}{5} = 2\alpha$。

三角形OACにおいて、OA = OC = 1 (円の半径)、ACをxとする。

余弦定理より、

$x^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos 2\alpha$

$x^2 = 2 - 2\cos 2\alpha$

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2(\frac{-1+\sqrt{5}}{4})^2 - 1 = 2(\frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16}) - 1 = 2(\frac{6 - 2\sqrt{5}}{16}) - 1 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - 4}{4} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$

$x^2 = 2 - 2(\frac{-1 - \sqrt{5}}{4}) = 2 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

$x = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 3\alpha + \sin 2\alpha = 0$

(2) $\cos \alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

(3) $a = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

(4) 線分ACの長さは$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$