三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとする。 (1) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。 (2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB}$を変形し、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。 (3) OP:PDを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとする。

(1) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。

(2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB}$を変形し、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。

(3) OP:PDを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dは辺ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1}$

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB}$ より、

$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$ であり、

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$であるから、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}t\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OP} = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

ここで、点Pは線分OD上にあるので、実数kを用いて$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}$と表せる。

(1)より$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$だから、

$\overrightarrow{OP} = k(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OP} = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP}$の$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の係数を比較して、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t = \frac{k}{3}$

$t = \frac{2k}{3}$

これを解くと、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2k}{3} = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{5} - \frac{2k}{5} = \frac{k}{3}$

$9 - 6k = 5k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

$t = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{11} = \frac{6}{11}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11}(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{3}{11}\overrightarrow{OA} + \frac{6}{11}\overrightarrow{OB}$

(3) $\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11} \overrightarrow{OD}$であるから、

OP:OD = 9:11

OP:(OP+PD) = 9:11

11OP = 9OP + 9PD

2OP = 9PD

OP:PD = 9:2

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11}\overrightarrow{OA} + \frac{6}{11}\overrightarrow{OB}$

(3) OP:PD = 9:2