3点 A(2, 2, 0), B(2, -3, √5), C(1, -1, 0) が与えられ、∠ACB = θ とします。 (1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表してください。 (2) θ の値を求めてください。 (3) △ABC の面積を求めてください。

1. 問題の内容

3点 A(2, 2, 0), B(2, -3, √5), C(1, -1, 0) が与えられ、∠ACB = θ とします。

(1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表してください。

(2) θ の値を求めてください。

(3) △ABC の面積を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ を成分で表します。

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (2, 2, 0) - (1, -1, 0) = (1, 3, 0)$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (2, -3, \sqrt{5}) - (1, -1, 0) = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) θ の値を求めます。

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \cos{\theta}$

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5}) = 1 - 6 + 0 = -5$

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ または $\theta = 120^{\circ}$

(3) △ABC の面積を求めます。

△ABC の面積 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin{\theta}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{10} \sin{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2} (10) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0)$, $\overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (または $120^{\circ}$)

(3) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$