ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ が与えられている。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ が与えられている。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ であることを利用する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値より、$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\sqrt{37})^2 = 37$, $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$, $|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$ であるから、

$37 = 9 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4(4)$

$37 = 9 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$37 = 25 - 4\vec{a} \cdot \vec{b}$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 25 - 37 = -12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) 内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を利用する。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{3 \cdot 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$