ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、内積を用いて以下のように計算できます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1 - \sqrt{3}) + (1)(1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2$

次に、$\vec{a}$ の大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

次に、$\vec{b}$ の大きさを計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (1 + 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ （または $60^\circ$）となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$