3点A(2, 2, 0), B(2, -3, $\sqrt{5}$), C(1, -1, 0)について、∠ACB = $\theta$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$を成分で表せ。 (2) $\theta$の値を求めよ。 (3) $\triangle$ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(2, 2, 0), B(2, -3, $\sqrt{5}$), C(1, -1, 0)について、∠ACB = $\theta$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$を成分で表せ。

(2) $\theta$の値を求めよ。

(3) $\triangle$ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{CA}$は点Aから点Cへのベクトルなので、

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (2, 2, 0) - (1, -1, 0) = (1, 3, 0)$

$\overrightarrow{CB}$は点Bから点Cへのベクトルなので、

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (2, -3, \sqrt{5}) - (1, -1, 0) = (1, -2, \sqrt{5})$

(2)

$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$の内積を求めると、

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5}) = 1 - 6 + 0 = -5$

$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$の大きさはそれぞれ、

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$

内積の定義より、

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \cos \theta$

$-5 = (\sqrt{10})(\sqrt{10}) \cos \theta = 10 \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

(3)

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{10})(\sqrt{10}) \sin (\frac{2}{3}\pi) = \frac{1}{2} (10) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0)$, $\overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$

(3) $\triangle ABC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$