2点A(2, 7, -1)とB(-4, 1, 5)を結ぶ線分を以下の比に内分する点の座標を求めます。 (1) 1:2 (2) 3:2

## 問題58

1. 問題の内容

2点A(2, 7, -1)とB(-4, 1, 5)を結ぶ線分を以下の比に内分する点の座標を求めます。

(1) 1:2

(2) 3:2

2. 解き方の手順

内分点の公式を使用します。線分ABをm:nに内分する点の座標は以下の式で求められます。

$$P = \frac{n A + m B}{m+n}$$

ここで、$A(x_1, y_1, z_1)$、$B(x_2, y_2, z_2)$のとき、$P(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}, \frac{nz_1 + mz_2}{m+n})$となります。

(1) 1:2の場合、m=1, n=2なので、

$$P = \frac{2A + 1B}{1+2} = \frac{2(2, 7, -1) + (-4, 1, 5)}{3} = \frac{(4, 14, -2) + (-4, 1, 5)}{3} = \frac{(0, 15, 3)}{3}$$

(2) 3:2の場合、m=3, n=2なので、

$$P = \frac{2A + 3B}{3+2} = \frac{2(2, 7, -1) + 3(-4, 1, 5)}{5} = \frac{(4, 14, -2) + (-12, 3, 15)}{5} = \frac{(-8, 17, 13)}{5}$$

3. 最終的な答え

(1) (0, 5, 1)

(2) (-8/5, 17/5, 13/5)

## 問題59

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$とするとき、次の問いに答えます。

(1) △BCDの重心Gの位置ベクトルを求めます。

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の重心の位置ベクトルは、頂点の位置ベクトルの平均で求められます。△BCDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

$$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$$

(2) 線分AGを3:1に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、内分点の公式を用いて求められます。

$$\vec{p} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{g}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3})}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

(2) $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$