$\triangle ABC$において、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき、3辺の長さの比 $BC:CA:AB$ を最も簡単な整数の比で表し、$\cos C$ を求め、$\triangle ABC$ の面積が $15\sqrt{7}$ のときの $AB$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき、3辺の長さの比 $BC:CA:AB$ を最も簡単な整数の比で表し、$\cos C$ を求め、$\triangle ABC$ の面積が $15\sqrt{7}$ のときの $AB$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（Rは外接円の半径）が成り立つ。

したがって、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ である。

問題文より、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ なので、$\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ である。

したがって、$BC:CA:AB = a:b:c = 4:5:6$ となる。

次に、余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a=4k, b=5k, c=6k$ とおくと、

$\cos C = \frac{(4k)^2 + (5k)^2 - (6k)^2}{2(4k)(5k)} = \frac{16k^2 + 25k^2 - 36k^2}{40k^2} = \frac{5k^2}{40k^2} = \frac{1}{8}$

$\triangle ABC$の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2}ab \sin C$

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin C = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$S = \frac{1}{2}(4k)(5k)\left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right) = \frac{60k^2\sqrt{7}}{16} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4} = 15\sqrt{7}$

$\frac{15k^2\sqrt{7}}{4} = 15\sqrt{7}$

$k^2 = 4$

$k = 2$

$AB = c = 6k = 6(2) = 12$

3. 最終的な答え

$BC:CA:AB = 4:5:6$

$\cos C = \frac{1}{8}$

$AB = 12$