ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさと、$\vec{a} - 2\vec{b}$ の大きさが与えられているとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。具体的には、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさと、$\vec{a} - 2\vec{b}$ の大きさが与えられているとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。具体的には、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2$ を計算し、内積の定義を用いる。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot (2\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ を代入する。

$(\sqrt{37})^2 = 3^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(2^2)$

$37 = 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16$

$37 = 25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$-4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 37 - 25$

$-4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{12}{-4}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$