3点 A(2, -1, 4), B(1, 3, 0), C(3, 1, 2) を頂点とする三角形 ABC の重心の座標を、原点 O に関する位置ベクトルを利用して求めよ。

1. 問題の内容

3点 A(2, -1, 4), B(1, 3, 0), C(3, 1, 2) を頂点とする三角形 ABC の重心の座標を、原点 O に関する位置ベクトルを利用して求めよ。

2. 解き方の手順

重心 G の位置ベクトル $\vec{OG}$ は、各頂点の位置ベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ を用いて次のように表されます。

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

各点の座標から位置ベクトルを求めると、

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{OC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

したがって、重心 G の位置ベクトル $\vec{OG}$ は、

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right)$

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2+1+3 \\ -1+3+1 \\ 4+0+2 \end{pmatrix}$

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\vec{OG} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

重心 G の座標は、位置ベクトル $\vec{OG}$ の成分に対応します。

3. 最終的な答え

重心の座標は (2, 1, 2) である。