直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{e}$とする。 (1) $\overrightarrow{BH}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{e}$で表せ。 (2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{e}$で表せ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{e}$とする。

(1) $\overrightarrow{BH}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{e}$で表せ。

(2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{e}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{BH}$を求める。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH}$

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$

よって、

$\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{e} + \overrightarrow{d} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{e}$

(2) 線分BHを1:2に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$を求める。

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} (-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{e})$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{d} + \frac{1}{3} \overrightarrow{e}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{d} + \frac{1}{3} \overrightarrow{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{e}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{d} + \frac{1}{3} \overrightarrow{e}$