$M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid |x_1| + |x_2| = 1\}$、 $S = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 = 1\}$とする。 $P$は$M$上の点、$Q$は原点を端点とする半直線$OP$と$S$との交点とする。 $P$に$Q$を対応させる写像$\varphi: M \to S$を定義する。 (1) 点$P$の座標を$(x_1, x_2)$とおくとき、点$Q$の座標を$x_1, x_2$で表せ。 (2) 写像$\varphi$は全単射であることを示せ。 (3) $\varphi$の逆写像$\varphi^{-1}$について、$(x_1, x_2) \in S$に対し、$\varphi^{-1}(x_1, x_2)$を$x_1, x_2$で表せ。

1. 問題の内容

$M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid |x_1| + |x_2| = 1\}$、

$S = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 = 1\}$とする。

$P$は$M$上の点、$Q$は原点を端点とする半直線$OP$と$S$との交点とする。

$P$に$Q$を対応させる写像$\varphi: M \to S$を定義する。

(1) 点$P$の座標を$(x_1, x_2)$とおくとき、点$Q$の座標を$x_1, x_2$で表せ。

(2) 写像$\varphi$は全単射であることを示せ。

(3) $\varphi$の逆写像$\varphi^{-1}$について、$(x_1, x_2) \in S$に対し、$\varphi^{-1}(x_1, x_2)$を$x_1, x_2$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点$P$の座標を$(x_1, x_2)$とする。点$Q$は半直線$OP$上にあるので、$Q$の座標は$t(x_1, x_2)$と表せる（ただし、$t > 0$）。

点$Q$は$S$上にあるので、$Q$の座標は$x_1^2 + x_2^2 = 1$を満たす。

したがって、$(tx_1)^2 + (tx_2)^2 = 1$となるから、$t^2(x_1^2 + x_2^2) = 1$。

よって、$t = \frac{1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}$となる。

したがって、$Q$の座標は

$$\left(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}, \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}\right)$$

(2) $\varphi$が全単射であることを示す。

(a) 単射性: $P_1(x_1, x_2), P_2(x_1', x_2') \in M$に対して、$\varphi(P_1) = \varphi(P_2)$を仮定する。このとき、

$$\left(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}, \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}\right) = \left(\frac{x_1'}{\sqrt{x_1'^2 + x_2'^2}}, \frac{x_2'}{\sqrt{x_1'^2 + x_2'^2}}\right)$$

より、$\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = \frac{x_1'}{\sqrt{x_1'^2 + x_2'^2}}$かつ$\frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = \frac{x_2'}{\sqrt{x_1'^2 + x_2'^2}}$.

したがって、$x_1 = x_1'$かつ$x_2 = x_2'$であるから、$P_1 = P_2$。よって、$\varphi$は単射である。

(b) 全射性: 任意の$Q(x_1, x_2) \in S$に対し、$P = \frac{(x_1, x_2)}{|x_1| + |x_2|}$とする。

$|x_1|+|x_2| = 1$を満たすことを確認する。

$P \in M$であり、

$$\varphi(P) = \left( \frac{x_1/(|x_1|+|x_2|)}{\sqrt{(x_1/(|x_1|+|x_2|))^2 + (x_2/(|x_1|+|x_2|))^2}}, \frac{x_2/(|x_1|+|x_2|)}{\sqrt{(x_1/(|x_1|+|x_2|))^2 + (x_2/(|x_1|+|x_2|))^2}} \right)$$

$$= \left(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}, \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}\right) = (x_1, x_2)$$

となるので、$Q = (x_1, x_2)$が存在する。よって、$\varphi$は全射である。

(a), (b)より、$\varphi$は全単射である。

(3) 任意の$(x_1, x_2) \in S$に対し、$\varphi^{-1}(x_1, x_2)$を求めると、$\varphi^{-1}(x_1, x_2) = \frac{(x_1, x_2)}{|x_1|+|x_2|}$。

3. 最終的な答え

(1) 点$Q$の座標は$\left(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}, \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}}\right)$.

(2) 写像$\varphi$は全単射である。（証明は上記参照）

(3) $\varphi^{-1}(x_1, x_2) = \frac{(x_1, x_2)}{|x_1|+|x_2|}$。