$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理またはチェバの定理を用いることで解くことができます。今回はメネラウスの定理を使用します。

まず、$\triangle ABL$ と直線 $OM$ について、メネラウスの定理を用いると、

$$\frac{AO}{OM} \cdot \frac{MP}{PB} \cdot \frac{BL}{LA} = 1$$

ここで、$M$ は $OA$ の中点なので、$\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1} = 2$。

また、$L$ は $AB$ を $2:3$ に内分するので、$\frac{BL}{LA} = \frac{3}{2}$。

これらを代入すると、

$$2 \cdot \frac{MP}{PB} \cdot \frac{3}{2} = 1$$

$$3 \cdot \frac{MP}{PB} = 1$$

$$\frac{MP}{PB} = \frac{1}{3}$$

よって、

$$\frac{PB}{MP} = 3$$

したがって、$BP:PM = 3:1$。

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$