三角形ABCにおいて、AB = 12, BC = 6, CA = 9である。ADは角Aの二等分線、AEは角Aの外角の二等分線である。このとき、DEの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 12, BC = 6, CA = 9である。ADは角Aの二等分線、AEは角Aの外角の二等分線である。このとき、DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を用いて、BDの長さを求める。

$BD:DC = AB:AC$より、

$BD:DC = 12:9 = 4:3$

$BC = 6$なので、$BD = \frac{4}{4+3} \times 6 = \frac{4}{7} \times 6 = \frac{24}{7}$

次に、角の外角の二等分線の性質を用いて、BEの長さを求める。

$BE:CE = AB:AC$より、

$BE:CE = 12:9 = 4:3$

ここで、$BE = BC + CE$なので、$BE = 6 + CE$

$(6+CE):CE = 4:3$

$3(6+CE) = 4CE$

$18 + 3CE = 4CE$

$CE = 18$

$BE = 6 + 18 = 24$

最後に、DEの長さを求める。

$DE = BE - BD = 24 - \frac{24}{7} = \frac{24 \times 7 - 24}{7} = \frac{24 \times 6}{7} = \frac{144}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{144}{7}$