3点A(2, 3, 4), B(6, 2, 5), C(1, 7, 3)が与えられている。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を求める。 (2) 三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3点A(2, 3, 4), B(6, 2, 5), C(1, 7, 3)が与えられている。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を求める。

(2) 三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を$\theta$とする。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$

$\overrightarrow{AB} = (6-2, 2-3, 5-4) = (4, -1, 1)$

$\overrightarrow{AC} = (1-2, 7-3, 3-4) = (-1, 4, -1)$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (4)(-1) + (-1)(4) + (1)(-1) = -4 - 4 - 1 = -9$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{-9}{(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ または $120^\circ$

(2) 三角形ABCの面積Sは以下のように計算できる。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \theta$

$\sin \theta = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} (3\sqrt{2})(3\sqrt{2}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (18) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\pi}{3}$ （または$120^\circ$）

(2) $\frac{9\sqrt{3}}{2}$