2つの幾何ベクトル $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ が作る空間内の平行四辺形の面積を求める。

## 問題 3

1. 問題の内容

2つの幾何ベクトル

$\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

と

$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

が作る空間内の平行四辺形の面積を求める。

2. 解き方の手順

2つのベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とすると、これらのベクトルが作る平行四辺形の面積は、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさ $|| \vec{a} \times \vec{b} ||$ で与えられる。

まず、外積を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (3)(-1) - (-1)(2) \\ (-1)(2) - (-1)(-1) \\ (-1)(2) - (3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 2 \\ -2 - 1 \\ -2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix}$

次に、外積の大きさを計算する。

$|| \vec{a} \times \vec{b} || = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 9 + 64} = \sqrt{74}$

3. 最終的な答え

平行四辺形の面積は $\sqrt{74}$ である。

## 問題 4

1. 問題の内容

空間内の2点 (0,0,0), (3,-6,9) を通る直線のパラメータ表示と方程式を求める。また、この直線上の点を (x, y, z) とすると、x=a のとき y, z を a を用いて表せ。

2. 解き方の手順

* パラメータ表示:

2点 (0,0,0) と (3,-6,9) を通る直線の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}$ である。したがって、直線のパラメータ表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ -6t \\ 9t \end{pmatrix}$ (t は実数)

と表せる。

* 方程式:

パラメータ表示から、x = 3t, y = -6t, z = 9t となる。

t = x/3 より、y = -6(x/3) = -2x, z = 9(x/3) = 3x となる。

したがって、方程式は y = -2x, z = 3x と表せる。

* x = a のとき:

x = a のとき、y = -2a, z = 3a となる。

3. 最終的な答え

パラメータ表示: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ -6t \\ 9t \end{pmatrix}$

方程式: y = -2x, z = 3x

x = a のとき: y = -2a, z = 3a

## 問題 5

1. 問題の内容

空間内の3点 (0,0,0), (2,1,2), (-1,1,3) を通る平面のパラメータ表示と方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

* パラメータ表示:

点 (0,0,0) を基準とし、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を用いて、平面上の点は以下のように表せる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \vec{a} + t \vec{b} = s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s - t \\ s + t \\ 2s + 3t \end{pmatrix}$ (s, t は実数)

* 方程式:

平面の方程式は $ax + by + cz = 0$ の形で表せる。

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトル $\vec{n}$ を求める。$\vec{n}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積で与えられる。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (2)(1) \\ (2)(-1) - (2)(3) \\ (2)(1) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ -2 - 6 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix}$

したがって、平面の方程式は $1x - 8y + 3z = 0$ つまり $x - 8y + 3z = 0$ となる。

3. 最終的な答え

パラメータ表示: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s - t \\ s + t \\ 2s + 3t \end{pmatrix}$

方程式: $x - 8y + 3z = 0$

## 問題 6

1. 問題の内容

次の行列 A について $A^n$ を求めよ。

(1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

したがって、$A^n = I$ (n が偶数のとき), $A^n = A$ (n が奇数のとき)

(2)

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と推測できる。

(3)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

固有値を求める。 $|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1$

固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 3$ のとき、$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = y$. 固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -1$ のとき、$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = -y$. 固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ より $A^n = PD^n P^{-1}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

(2) $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$