座標平面上に点A($a$, $a$)があります。ただし、$a>0$です。 (1) 直線 $y=2x$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求めます。 (2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求めます。 (3) 点Pは直線 $y=2x$ 上にあり、点Qは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあります。3点A, P, Qは同一直線上にないとき、三角形APQの周の長さを最小にする点Pと点Qの座標を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解説します。

1. 問題の内容

座標平面上に点A($a$, $a$)があります。ただし、$a>0$です。

(1) 直線 $y=2x$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求めます。

(2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求めます。

(3) 点Pは直線 $y=2x$ 上にあり、点Qは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあります。3点A, P, Qは同一直線上にないとき、三角形APQの周の長さを最小にする点Pと点Qの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点A($a$, $a$)と点Bを直線 $y=2x$ に関して対称な点とします。

線分ABの中点をMとすると、Mは直線 $y=2x$ 上にあります。

また、直線ABは直線 $y=2x$ と垂直に交わります。

点Bの座標を($x$, $y$)とすると、Mの座標は($\frac{x+a}{2}$, $\frac{y+a}{2}$)です。

Mが直線 $y=2x$ 上にあるので、

$$\frac{y+a}{2} = 2 \cdot \frac{x+a}{2}$$

$$y+a = 2x+2a$$

$$y = 2x+a$$

また、直線ABの傾きは$-\frac{1}{2}$なので、

$$\frac{y-a}{x-a} = -\frac{1}{2}$$

$$2y-2a = -x+a$$

$$x = -2y+3a$$

これを$y = 2x+a$に代入すると、

$$y = 2(-2y+3a)+a$$

$$y = -4y+6a+a$$

$$5y = 7a$$

$$y = \frac{7}{5}a$$

$$x = -2 \cdot \frac{7}{5}a + 3a = -\frac{14}{5}a + \frac{15}{5}a = \frac{1}{5}a$$

したがって、点Bの座標は($\frac{1}{5}a$, $\frac{7}{5}a$)です。

(2) 点A($a$, $a$)と点Cを直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して対称な点とします。

線分ACの中点をNとすると、Nは直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあります。

また、直線ACは直線 $y=\frac{1}{2}x$ と垂直に交わります。

点Cの座標を($x'$, $y'$)とすると、Nの座標は($\frac{x'+a}{2}$, $\frac{y'+a}{2}$)です。

Nが直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあるので、

$$\frac{y'+a}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x'+a}{2}$$

$$2y'+2a = x'+a$$

$$x' = 2y'+a$$

また、直線ACの傾きは$-2$なので、

$$\frac{y'-a}{x'-a} = -2$$

$$y'-a = -2x'+2a$$

$$y' = -2x'+3a$$

これを$x' = 2y'+a$に代入すると、

$$x' = 2(-2x'+3a)+a$$

$$x' = -4x'+6a+a$$

$$5x' = 7a$$

$$x' = \frac{7}{5}a$$

$$y' = -2 \cdot \frac{7}{5}a + 3a = -\frac{14}{5}a + \frac{15}{5}a = \frac{1}{5}a$$

したがって、点Cの座標は($\frac{7}{5}a$, $\frac{1}{5}a$)です。

(3) AP + PQ + QA を最小にするには、

AP + PQ + QA = BP + PQ + QC が最小になればよい。

点Pは直線 $y = 2x$ 上にあり、点Qは直線 $y = \frac{1}{2} x$ 上にあるので、BP+PQ+QCが最小になるのは、B, P, Q, Cが一直線上にあるときである。

したがって、直線BCと直線 $y = 2x$ の交点がP、直線BCと直線 $y = \frac{1}{2} x$ の交点がQである。

B($\frac{1}{5}a$, $\frac{7}{5}a$)、C($\frac{7}{5}a$, $\frac{1}{5}a$)を通る直線の方程式は、

$$\frac{y-\frac{7}{5}a}{x-\frac{1}{5}a} = \frac{\frac{1}{5}a-\frac{7}{5}a}{\frac{7}{5}a-\frac{1}{5}a} = \frac{-\frac{6}{5}a}{\frac{6}{5}a} = -1$$

$$y-\frac{7}{5}a = -x+\frac{1}{5}a$$

$$y = -x+\frac{8}{5}a$$

点Pは $y = 2x$ 上にあるので、

$$2x = -x + \frac{8}{5} a$$

$$3x = \frac{8}{5} a$$

$$x = \frac{8}{15} a$$

$$y = 2x = \frac{16}{15} a$$

したがって、点Pの座標は($\frac{8}{15}a$, $\frac{16}{15}a$)です。

点Qは $y = \frac{1}{2} x$ 上にあるので、

$$\frac{1}{2} x = -x + \frac{8}{5} a$$

$$\frac{3}{2} x = \frac{8}{5} a$$

$$x = \frac{16}{15} a$$

$$y = \frac{1}{2} x = \frac{8}{15} a$$

したがって、点Qの座標は($\frac{16}{15}a$, $\frac{8}{15}a$)です。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: ($\frac{1}{5}a$, $\frac{7}{5}a$)

(2) 点Cの座標: ($\frac{7}{5}a$, $\frac{1}{5}a$)

(3) 点Pの座標: ($\frac{8}{15}a$, $\frac{16}{15}a$)

点Qの座標: ($\frac{16}{15}a$, $\frac{8}{15}a$)