問題14：ベクトルの大きさ $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$ (2) $|\vec{a}+3\vec{b}|^2$ 問題15：平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めます。

1. 問題の内容

問題14：ベクトルの大きさ $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$

(2) $|\vec{a}+3\vec{b}|^2$

問題15：平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めます。

2. 解き方の手順

問題14 (1):

$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$を展開します。

$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入します。

$= 3^2 - 2 - 2(\sqrt{2})^2 = 9 - 2 - 4 = 3$

問題14 (2):

$|\vec{a}+3\vec{b}|^2$を展開します。

$|\vec{a}+3\vec{b}|^2 = (\vec{a}+3\vec{b}) \cdot (\vec{a}+3\vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 + 6\vec{a} \cdot \vec{b} + 9|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入します。

$= 3^2 + 6(2) + 9(\sqrt{2})^2 = 9 + 12 + 18 = 39$

問題15:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ より、

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}+\vec{AD}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AD} + |\vec{AD}|^2$

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}||\vec{AD}|\cos{\angle BAD} = \sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos{30^\circ} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2}$

$|\vec{AC}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \frac{15}{2} + 5^2 = 3 + 15 + 25 = 43$

$|\vec{AC}| = \sqrt{43}$

3. 最終的な答え

問題14 (1): 3

問題14 (2): 39

問題15: $\sqrt{43}$