$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係式を利用する。

$\sin \theta = \frac{2}{5}$ を代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\cos \theta \le 0$ であるため、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係式を利用する。

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{5} \times (-\frac{5}{\sqrt{21}}) = -\frac{2}{\sqrt{21}}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$