右図の直角三角形ABCにおいて、点PはAを出発し、辺上をBを通ってCまで、秒速1cmで動きます。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とします。以下の問題を解いてください。 (1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求めよ。 (2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表したグラフを選択肢から選びなさい。 (3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域、CPの長さをxの式で表したもの、yをxの式で表したものを求めなさい。

## 解答

1. 問題の内容

右図の直角三角形ABCにおいて、点PはAを出発し、辺上をBを通ってCまで、秒速1cmで動きます。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とします。以下の問題を解いてください。

(1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求めよ。

(2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表したグラフを選択肢から選びなさい。

(3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域、CPの長さをxの式で表したもの、yをxの式で表したものを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後、点PはAB上にあり、APの長さは3cmです。

三角形APCの面積は、底辺をAP、高さをBCとすると、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、$0 \le x \le 10$です。

三角形APCの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$となり、$y$は$x$に比例します。

$x=0$のとき$y=0$、$x=10$のとき$y=20$となるので、グラフは原点を通る直線になります。したがって、グラフは③です。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、$10 \le x \le 14$です。

CPの長さは、$CP = BC - (x-10) = 4 - (x - 10) = 14 - x$

したがって、$CP = 14 - x$

三角形APCの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AC \times (AB + BC -x)$、ACは10です。

$y = \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times h$

点Aから直線BCに下ろした垂線をhとすると、三角形ABCの面積について、$AB \times BC = AC \times h$なので、$10 \times 4 = 10 \times h$、$h = 4$

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times (14-x) = 20 + \frac{1}{2} (10)(14-x) = 5(14-x) = 70 - 5x$

よって、$y = -5x + 70$

3. 最終的な答え

(1) チ：6

(2) ツ：③

(3) テト：10, ナニ：14

CP = (14-x)

y = -5x+70