問題11: 図の$\triangle ABC$において、次の内積を求めよ。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題11: 図の$\triangle ABC$において、次の内積を求めよ。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}$の長さは3、$\overrightarrow{AC}$の長さは$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\angle BAC = 45^\circ$なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{45^\circ} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC}$の長さは3

$\angle ABC = 90^\circ$なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{90^\circ} = 3 \cdot 3 \cdot 0 = 0$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{BC}$の長さは3、$\overrightarrow{CA}$の長さは$3\sqrt{2}$

$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$のなす角は$135^\circ$なので、

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{CA}| \cos{135^\circ} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -9$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 0

(3) -9