$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$, 辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$, 辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ の比を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。

$L$ は辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点なので、

$$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$$

$M$ は辺 $OA$ の中点なので、

$$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$$

$P$ は線分 $OL$ 上にあるので、$t$ を実数として、

$$\vec{OP} = t\vec{OL} = t\left(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}\right) = \frac{3t}{5}\vec{a} + \frac{2t}{5}\vec{b}$$

$P$ は線分 $BM$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM} = (1-s)\vec{b} + s\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) = \frac{s}{2}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$$\begin{cases} \frac{3t}{5} = \frac{s}{2} \\ \frac{2t}{5} = 1-s \end{cases}$$

これを解く。

1つ目の式から $s = \frac{6t}{5}$ となる。

2つ目の式に代入して、

$$\frac{2t}{5} = 1 - \frac{6t}{5}$$

$$\frac{8t}{5} = 1$$

$$t = \frac{5}{8}$$

したがって、

$$s = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$$

$$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$

$P$ は線分 $BM$ 上にあるので、$s = \frac{3}{4}$ より、

$$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$$

よって、$BP:PM = s:(1-s) = \frac{3}{4}:\frac{1}{4} = 3:1$.

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$