円 $x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 50 = 0$ が定数 $a$ がどんな値をとっても2つの定点を通ることを示す。また、この円と円 $x^2 + y^2 + x + y - 21 = 0$ の2交点を通る直線が点 $(-1, 2)$ を通るように $a$ の値を定める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 50 = 0$ が定数 $a$ がどんな値をとっても2つの定点を通ることを示す。また、この円と円 $x^2 + y^2 + x + y - 21 = 0$ の2交点を通る直線が点 $(-1, 2)$ を通るように $a$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 50 = 0$ が2つの定点を通ることを示す。

この式を $a$ について整理すると、

$x^2 + y^2 - 50 + a(-6x + 2y + 20) = 0$

この式は、

$x^2 + y^2 - 50 = 0$

かつ

$-6x + 2y + 20 = 0$

のとき、任意の $a$ に対して成り立つ。

よって、この2式を満たす点 $(x, y)$ は、与えられた円が常に通る定点である。

$-6x + 2y + 20 = 0$ より、 $y = 3x - 10$

これを $x^2 + y^2 - 50 = 0$ に代入すると、

$x^2 + (3x - 10)^2 - 50 = 0$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 - 50 = 0$

$10x^2 - 60x + 50 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

$x = 1$ のとき $y = 3(1) - 10 = -7$

$x = 5$ のとき $y = 3(5) - 10 = 5$

したがって、2つの定点は $(1, -7)$ と $(5, 5)$ である。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

円 $x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 50 = 0$ と円 $x^2 + y^2 + x + y - 21 = 0$ の交点を通る直線の方程式は、

$(x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 50) - (x^2 + y^2 + x + y - 21) = 0$

$-6ax + 2ay + 20a - 50 - x - y + 21 = 0$

$(-6a - 1)x + (2a - 1)y + 20a - 29 = 0$

(3) この直線が点 $(-1, 2)$ を通るように $a$ の値を定める。

$(-6a - 1)(-1) + (2a - 1)(2) + 20a - 29 = 0$

$6a + 1 + 4a - 2 + 20a - 29 = 0$

$30a - 30 = 0$

$30a = 30$

$a = 1$

3. 最終的な答え

2つの定点は $(1, -7)$ と $(5, 5)$ であり、$a = 1$ である。