三角形ABCにおいて、AB = 5/3, AC = 5/2, BC = 2である。BCと平行な直線XYが三角形ABCの外接円と点Pにおいて接している。APとBCの交点をDとするとき、BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 5/3, AC = 5/2, BC = 2である。BCと平行な直線XYが三角形ABCの外接円と点Pにおいて接している。APとBCの交点をDとするとき、BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、接弦定理より、$\angle APB = \angle ACB$である。

また、XYとBCは平行なので、$\angle APB = \angle PBC$である。

したがって、$\angle ACB = \angle PBC$となる。

次に、$\triangle PBC$と$\triangle ABC$において、$\angle ACB = \angle PBC$と$\angle BPC = \angle BAC$ (円周角の定理) は一般に成り立たない。$\angle BPC = \angle BAC$ は成り立たない。

しかし、$\angle ACB = \angle PBC$なので、$\triangle PBC \sim \triangle ABC$が成り立つ条件がわかった。

$\triangle ABD$と$\triangle CPA$に着目する。$\angle ADB = \angle CDP$ (対頂角)である。$\angle ABD = \angle ABC$と$\angle CAP = \angle CAB$である。

$\angle CPA = \angle CBA$（接弦定理）。したがって、$\triangle ABD \sim \triangle CPA$ となる。

ここで、方べきの定理を使う。点Dは直線APとBCの交点なので、

$AP \cdot DP = BP \cdot CP$ となる。

ここで、直線XYが円の接線なので、$\angle APB = \angle ACB$。またXY//BCなので$\angle APB = \angle PBC$。したがって$\angle ACB = \angle PBC$。

よって$\triangle PBC$は二等辺三角形である。

$\triangle ABC$と$\triangle PBC$で、$\angle ACB = \angle PBC$なので、$\triangle PBC \sim \triangle CBA$。

よって$\frac{PB}{CB} = \frac{BC}{AC}$より、$PB = \frac{BC^2}{AC} = \frac{2^2}{5/2} = \frac{8}{5}$。

また$\frac{PC}{BA} = \frac{BC}{AC}$より、$PC = \frac{BC \cdot BA}{AC} = \frac{2 \cdot 5/3}{5/2} = \frac{4}{3}$。

メネラウスの定理より、$\frac{AP}{PD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CY}{YA} = 1$。ここで、$\frac{CY}{YA}$が不明である。

角の二等分線の定理より、$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$となる。

したがって、$\frac{BD}{CD} = \frac{5/3}{5/2} = \frac{2}{3}$。

BC = 2より、$BD + CD = 2$。

$BD = \frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{4}{5}$。

3. 最終的な答え

BD = 4/5