三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}, A = 15^\circ, C = 135^\circ$ のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}, A = 15^\circ, C = 135^\circ$ のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 角Bを求める

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 15^\circ - 135^\circ = 30^\circ$

(2) 正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{2} = 2R$

$R = \sqrt{2}$

(3) 正弦定理を用いて辺cを求める

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$\frac{c}{\sin 135^\circ} = 2\sqrt{2}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}$

$c = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c = 2$

3. 最終的な答え

外接円の半径 $R = \sqrt{2}$

辺 $c = 2$