$\theta$は鋭角で、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角で、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、余角の公式 $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$ を用いる。

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ より、

$\frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{2}$

よって、

$\tan \theta = 2$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = 2\cos \theta$ である。

また、三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\sin \theta = 2\cos \theta$ を代入して、

$(2\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ である。

したがって、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = 2\cos \theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$