楕円 $3x^2 + 4y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $3x^2 + 4y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた楕円の式を標準形に変形します。

$3x^2 + 4y^2 = 1$ は、両辺を 1 で割ることで、

$\frac{x^2}{1/3} + \frac{y^2}{1/4} = 1$

と変形できます。さらに、

$\frac{x^2}{(1/\sqrt{3})^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$

となります。

これは、楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ で、$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$b = \frac{1}{2}$ に対応します。

楕円の面積は $S = \pi ab$ で求められるので、

$S = \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$

となります。

分母を有理化すると

$S = \frac{\pi \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$