点 O(0, 0), A(3, 1), P(k, -1) が与えられたとき、ベクトル OP とベクトル AP が垂直になるような実数 k の値を求める問題です。つまり、$\vec{OP} \perp \vec{AP}$となるような $k$ を求めます。

1. 問題の内容

点 O(0, 0), A(3, 1), P(k, -1) が与えられたとき、ベクトル OP とベクトル AP が垂直になるような実数 k の値を求める問題です。つまり、$\vec{OP} \perp \vec{AP}$となるような $k$ を求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル OP とベクトル AP が垂直である条件は、それらの内積が 0 であることです。

まず、ベクトル OP とベクトル AP を求めます。

$\vec{OP} = (k, -1)$

$\vec{AP} = (k-3, -1-1) = (k-3, -2)$

$\vec{OP} \perp \vec{AP}$ より、$\vec{OP} \cdot \vec{AP} = 0$ です。

したがって、

$k(k-3) + (-1)(-2) = 0$

これを解くと、

$k^2 - 3k + 2 = 0$

$(k-1)(k-2) = 0$

よって、$k = 1$ または $k = 2$

3. 最終的な答え

$k = 1, 2$