問題は、3点A(2, 3, 4), B(6, 2, 5), C(1, 7, 3) が与えられたとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を求める。 (2) 三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

問題は、3点A(2, 3, 4), B(6, 2, 5), C(1, 7, 3) が与えられたとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を求める。

(2) 三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を求める。

ステップ1: ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = (6-2, 2-3, 5-4) = (4, -1, 1)$

$\overrightarrow{AC} = (1-2, 7-3, 3-4) = (-1, 4, -1)$

ステップ2: ベクトルの内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (4)(-1) + (-1)(4) + (1)(-1) = -4 - 4 - 1 = -9$

ステップ3: ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{AB}|$ と $|\overrightarrow{AC}|$ を計算する。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

ステップ4: $\cos \theta$ を計算する。ここで、$\theta$は$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$のなす角。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{-9}{(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2}$

ステップ5: 角 $\theta$ を求める。

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ より $\theta = 120^\circ$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

ステップ1: $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

4 & -1 & 1 \\

-1 & 4 & -1

\end{vmatrix}

= \mathbf{i}((-1)(-1) - (1)(4)) - \mathbf{j}((4)(-1) - (1)(-1)) + \mathbf{k}((4)(4) - (-1)(-1))$

$= \mathbf{i}(1 - 4) - \mathbf{j}(-4 + 1) + \mathbf{k}(16 - 1) = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 15\mathbf{k} = (-3, 3, 15)$

ステップ2: 外積の大きさ $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ を計算する。

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 15^2} = \sqrt{9 + 9 + 225} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$

ステップ3: 三角形ABCの面積 S を計算する。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (9\sqrt{3}) = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角: $120^\circ$

(2) 三角形ABCの面積: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$