座標平面上に点O(0, 0), A(1, 1)がある。直線$l$の方程式は$y = -ax + 2a + 2$で与えられている。ただし、$a$は正の実数である。 (1) 直線$l$に関して点Aと対称な点A'の座標を求める。 (2) 点Pが直線$l$上を動くとき、$OP + PA$の最小値を$a$を用いて表す。 (3) (2)で求めた$OP + PA$の最小値を$f(a)$とするとき、$f(a)$を最大にするような$a$の値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点O(0, 0), A(1, 1)がある。直線$l$の方程式は$y = -ax + 2a + 2$で与えられている。ただし、$a$は正の実数である。

(1) 直線$l$に関して点Aと対称な点A'の座標を求める。

(2) 点Pが直線$l$上を動くとき、$OP + PA$の最小値を$a$を用いて表す。

(3) (2)で求めた$OP + PA$の最小値を$f(a)$とするとき、$f(a)$を最大にするような$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(1, 1)と直線$l: y = -ax + 2a + 2$に関して対称な点A'(x', y')を求める。

線分AA'の中点Mは直線$l$上にある。Mの座標は$\left(\frac{x'+1}{2}, \frac{y'+1}{2}\right)$。

Mが$l$上にあるので、

$\frac{y'+1}{2} = -a\frac{x'+1}{2} + 2a + 2$

$y' + 1 = -a(x' + 1) + 4a + 4$

$y' = -ax' + 3a + 3$ ...(1)

線分AA'は直線$l$と直交する。直線$l$の傾きは$-a$なので、AA'の傾きは$\frac{1}{a}$。

$\frac{y'-1}{x'-1} = \frac{1}{a}$

$y' - 1 = \frac{1}{a}(x' - 1)$

$ay' - a = x' - 1$

$x' = ay' - a + 1$ ...(2)

(1)を(2)に代入して、

$x' = a(-ax' + 3a + 3) - a + 1$

$x' = -a^2x' + 3a^2 + 3a - a + 1$

$x' + a^2x' = 3a^2 + 2a + 1$

$(1 + a^2)x' = 3a^2 + 2a + 1$

$x' = \frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}$

(1)に代入して、

$y' = -a\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1} + 3a + 3$

$y' = \frac{-3a^3 - 2a^2 - a + 3a^3 + 3a + 3a^2 + 3}{a^2 + 1}$

$y' = \frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1}$

したがって、A'の座標は$\left(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}, \frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1}\right)$。

(2) $OP + PA$の最小値は$OP + PA'$である。

Pが直線$l$上にあるとき、$OP + PA \ge OA'$となり、最小値は$OA'$である。

$OA' = \sqrt{\left(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1}\right)^2}$

$OA' = \frac{\sqrt{(3a^2 + 2a + 1)^2 + (a^2 + 2a + 3)^2}}{a^2 + 1}$

$OA' = \frac{\sqrt{9a^4 + 4a^2 + 1 + 12a^3 + 6a^2 + 4a + a^4 + 4a^2 + 9 + 4a^3 + 6a^2 + 12a}}{a^2 + 1}$

$OA' = \frac{\sqrt{10a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 16a + 10}}{a^2 + 1}$

$f(a) = \frac{\sqrt{10a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 16a + 10}}{a^2 + 1}$

(3)

$f(a) = \sqrt{\frac{10a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 16a + 10}{(a^2 + 1)^2}}$

$f(a) = \sqrt{\frac{10a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 16a + 10}{a^4 + 2a^2 + 1}}$

$f(a) = \sqrt{\frac{10(a^4 + 1) + 16a(a^2 + 1) + 16a^2}{a^4 + 2a^2 + 1}}$

$a=1$のとき、A' = (3+2+1)/(1+1), (1+2+3)/(1+1) = (3, 3)

OA' = $\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) A'の座標: $\left(\frac{3a^2 + 2a + 1}{a^2 + 1}, \frac{a^2 + 2a + 3}{a^2 + 1}\right)$

(2) $OP + PA$の最小値: $f(a) = \frac{\sqrt{10a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 16a + 10}}{a^2 + 1}$

(3) $a = 1$