三角形ABCにおいて、$BC = \sqrt{6}$, $CA = 1$, $AB = 2$である。角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC = \sqrt{6}$, $CA = 1$, $AB = 2$である。角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の定理を利用して、BDとDCの比を求める。

角の二等分線の定理より、$BD : DC = AB : AC = 2 : 1$

したがって、$BD = \frac{2}{2+1}BC = \frac{2}{3}BC = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(2) 三角形ABDにおいて、余弦定理を用いてcos∠Bを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

$1 = 4 + 6 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cos B$

$4\sqrt{6} \cos B = 9$

$\cos B = \frac{9}{4\sqrt{6}} = \frac{9\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$

(3) 三角形ABDにおいて、余弦定理を用いてADの長さを求める。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos B$

$AD^2 = 4 + (\frac{2\sqrt{6}}{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{8}$

$AD^2 = 4 + \frac{4 \cdot 6}{9} - \frac{4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6}{3 \cdot 8}$

$AD^2 = 4 + \frac{24}{9} - \frac{144}{24}$

$AD^2 = 4 + \frac{8}{3} - 6$

$AD^2 = -2 + \frac{8}{3} = \frac{-6+8}{3} = \frac{2}{3}$

$AD = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{3}$