3点A(-1, 2), B(5, -1), C(6, 1)が与えられている。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 点Cと直線ABの距離を求める。 (3) 三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3点A(-1, 2), B(5, -1), C(6, 1)が与えられている。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 点Cと直線ABの距離を求める。

(3) 三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

A(-1, 2), B(5, -1)を通る直線の傾きは

$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

点A(-1, 2)を通り、傾きが$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$

$2(y - 2) = -(x + 1)$

$2y - 4 = -x - 1$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離を求める。

点(x1, y1)と直線ax + by + c = 0の距離dは

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

C(6, 1)と直線AB: x + 2y - 3 = 0の距離は

$d = \frac{|1 \cdot 6 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) 三角形ABCの面積を求める。

AB = $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2}$

または、座標を使って求める方法がある。

三角形ABCの面積は

$S = \frac{1}{2} |(-1)(-1-1) + 5(1-2) + 6(2-(-1))| = \frac{1}{2} |(-1)(-2) + 5(-1) + 6(3)| = \frac{1}{2} |2 - 5 + 18| = \frac{1}{2} |15| = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式: $x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離: $\sqrt{5}$

(3) 三角形ABCの面積: $\frac{15}{2}$