三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、$B = 45^\circ$、$C = 15^\circ$であるとする。 (1) $A, b, c$を求めよ。 (2) $\sin 15^\circ$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、$B = 45^\circ$、$C = 15^\circ$であるとする。

(1) $A, b, c$を求めよ。

(2) $\sin 15^\circ$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A, b, c$を求める。

まず、$A$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$

次に、$b$を求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$

最後に、$c$を求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$c = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

(2) $\sin 15^\circ$の値を求める。

上記(1)で計算したように、

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $A = 120^\circ$, $b = 2\sqrt{2}$, $c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

(2) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$