半径1の円の直交する2つの半径OA, OBがある。PQはBOに平行で、四角形PQQ'P'は正方形である。Pが弧AB上を動くとき、斜線部分の面積Sが最大となるときの線分PQの長さを求める。

1. 問題の内容

半径1の円の直交する2つの半径OA, OBがある。PQはBOに平行で、四角形PQQ'P'は正方形である。Pが弧AB上を動くとき、斜線部分の面積Sが最大となるときの線分PQの長さを求める。

2. 解き方の手順

円の半径を1とする。OQ = xとすると、PQ = OQ' = xとなる。したがって、四角形PQQ'P'は一辺の長さがxの正方形なので、面積は$x^2$である。

PからOAに下ろした垂線の足をP'とすると、OP = 1だから、$OP'^2 + PP'^2 = 1$が成り立つ。$PP' = x$なので、$OP'^2 + x^2 = 1$。よって、$OP' = \sqrt{1 - x^2}$である。

扇形OABの面積は$\frac{1}{4} \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}$である。

斜線部分の面積Sは、正方形の面積から、扇形OAPの部分を除いたものと扇形OAP'部分を足したものになる。つまり、

$S = x^2 - (\frac{\pi}{4} - \triangle OPP')$

$\triangle OPP' = \frac{1}{2} \cdot OP' \cdot PP' = \frac{1}{2} x\sqrt{1-x^2}$

求める面積は

$S = x^2 + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} - \frac{\pi}{4}$

$S$が最大となるのは、$f(x) = x^2 + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}$が最大となるときである。

$f'(x) = 2x + \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} x \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}$

$= 2x + \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}$

$= 2x + \frac{1-2x^2}{2\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$となるのは、

$2x = \frac{2x^2-1}{2\sqrt{1-x^2}}$

$4x\sqrt{1-x^2} = 2x^2 - 1$

$16x^2(1-x^2) = 4x^4 - 4x^2 + 1$

$16x^2 - 16x^4 = 4x^4 - 4x^2 + 1$

$20x^4 - 20x^2 + 1 = 0$

$x^2 = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80}}{40} = \frac{20 \pm \sqrt{320}}{40} = \frac{20 \pm 8\sqrt{5}}{40} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{10}$

$x>0$なので、$x = \sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{5}}{10}}$は不適。

$x = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{10}}$

面積Sが最大となるのは、$f'(x) = 0$となるときだから、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、$2x^2=1$となり、$1-2x^2 = 0$

$f'(x) = 2x = 0$ となり、これは$x=0$であるので矛盾。

面積を最大にするには、$4x\sqrt{1-x^2} = 2x^2 - 1$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入すると、$4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 2 (\frac{1}{2}) - 1$

$2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1-1 = 0$

$2 = 0$となり矛盾。

正方形なので、PQ=OQ' = x

弧の中点となるのは、正方形の一辺が$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき面積が最大になる。

$PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2}$