等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形する。

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta$

$\sin^2\theta$ でくくる。

$= \sin^2\theta (\frac{1}{\cos^2\theta} - 1)$

$\frac{1}{\cos^2\theta} - 1$ を計算する。

$= \sin^2\theta (\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta})$

$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ より、

$= \sin^2\theta (\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta})$

$= \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \sin^2\theta$

$= \tan^2\theta \sin^2\theta$

したがって、左辺は右辺に等しいことが証明された。

3. 最終的な答え

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$