次の3つの三角関数の式の値を求めます。 (1) $\sin 80^\circ \cos 170^\circ - \cos 80^\circ \sin 170^\circ$ (2) $\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ$ (3) $\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの三角関数の式の値を求めます。

(1) $\sin 80^\circ \cos 170^\circ - \cos 80^\circ \sin 170^\circ$

(2) $\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ$

(3) $\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ}$

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の公式 $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ を用います。

この問題では、$A = 80^\circ$、$B = 170^\circ$ と考えると、

$\sin(80^\circ - 170^\circ) = \sin(-90^\circ) = -1$

(2)

$\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ$

ここで、$\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$

$\cos 160^\circ = \cos(90^\circ + 70^\circ) = -\sin 70^\circ$

したがって、

$\sin 20^\circ + \sin 70^\circ - \sin 20^\circ - \sin 70^\circ = 0$

(3)

$\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ}$

$\frac{1}{\tan^2 50^\circ} = \cot^2 50^\circ$

ここで、$\cot 50^\circ = \tan(90^\circ - 50^\circ) = \tan 40^\circ$

$\frac{1}{\cos^2 40^\circ} = \sec^2 40^\circ$

したがって、

$\tan^2 40^\circ - \sec^2 40^\circ = \tan^2 40^\circ - (1 + \tan^2 40^\circ) = -1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 0

(3) -1