円に内接する八角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。 (1) 八角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

円に内接する八角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。

(1) 八角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

(2) 八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 八角形と1辺だけを共有する三角形の個数について

まず、八角形の辺を1つ選びます。これは8通りあります。

次に、選んだ辺と頂点を共有しない頂点を選びます。八角形の頂点の数は8つで、選んだ辺の両端の頂点と、その隣の頂点は選べないので、選べる頂点は8 - 4 = 4個です。

したがって、八角形と1辺だけを共有する三角形の数は、

$8 \times 4 = 32$ 個です。

(2) 八角形と辺を共有しない三角形の個数について

まず、八角形の8個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式を使って計算できます。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、八角形と1辺を共有する三角形の数、2辺を共有する三角形の数、辺を共有しない三角形の数の総和が、上記の56になることを利用します。

1辺を共有する三角形の数は(1)で求めたように32個です。

2辺を共有する三角形の数は、八角形の各頂点に対して1つずつ存在するので8個です。

したがって、辺を共有しない三角形の数は

$56 - 32 - 8 = 16$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 32個

(2) 16個